På svenska

In English

Johdatus tilastotieteeseen

Oppitunti:
Aihe:
Esimerkki 1

Tilastollinen malli

Matemaattinen funktio ei ole vielä täydellinen tilastollinen malli. Kaikki havaintopisteet eivät asetu funktion y = ƒ(x) määräämälle suoralle y = a + b × x. Jotta y-arvot saadaan täydellisesti määrättyä, tarvitaan funktion lisäksi jäännösvirhe, joka kuvaa funktion arvon ja todellisen y:n arvon eroa: y = ƒ(x) + jäännösvirhe

Tämän ajatellaan pätevän kaikille perusjoukon alkioille. Tieteellisen mallin pitää olla riittävän yksinkertainen. Sen vuoksi ei edes yritetä etsiä tieteellistä selitystä jokaisen havainnon jäännösvirheelle. Yksittäisen jäännösvirheen syntyyn vaikuttaneita tekijöitä ei tutkita. 

Tilastollisessa mallissa oletetaan, että kaikilla jäännösvirheillä on samanlainen syntymekanismi, mutta jäännösvirheiden arvot määräytyvät satunnaisesti. Jäännösvirhe tulkitaan satunnaismuuttujaksi. Satunnaismuuttuja on tavallaan yksityiskohdiltaan tuntematon mekanismi, joka tuottaa jatkuvasti uusia arvoja (kunnes esimerkiksi kaikki perusjoukon alkiot ovat saaneet jäännösvirheensä).  

Satunnaismuuttujan seuraavaa arvoa ei voi ennustaa tarkkaan, mutta voidaan sanoa esimerkiksi, että uusi arvo sattuu annetulle välille jollakin todennäköisyydellä. Jäännösvirheen tapauksessa jäännösvirhe on positiivinen 50 %:n todennäköisyydellä. Perusjoukossa noin puolet jäännösvirheiden arvoista on negatiivisia ja puolet positiivisia; jäännösvirheiden arvojen keskiarvo on lähellä nollaa.

Satunnaismuuttujan käyttö mahdollistaa erilaiset arviot, jotka pätevät jollakin todennäköisyydellä. Otokseen sovitetun suoran y=a+bx avulla lasketaan esimerkiksi arvio siitä, millainen keskimääräinen y:n arvo vastaa tiettyä x:n arvoa.

Todennäköisyyslaskennan avulla saadaan esimerkiksi seuraava tulos: laskettu keskimääräinen y:n arvo eroaa todellisesta perusjoukon keskiarvosta 99,9 %:n todennäköisyydellä korkeintaan 2:n verran. Huonolla tuurilla eli 0,1 %:n todennäköisyydellä ero on tätä suurempi.

Satunnaismuuttujan sisällyttäminen malliin erottaa tilastollisen mallin esimerkiksi fysiikan mallista, joka kuvaa ilmiötä tarkasti kaavan avulla.

Takaisin oppimateriaaliin

Jaa