Johdatus tilastotieteeseen

Oppitunti:	1 Tilasto ja sitä tutkiva tiede 2 Tilastotieteen peruskäsitteitä 3 Tunnusluvut 4 Vaihtelu ja riippuvuus
Aihe:	Oppitunnin etusivulle 4.1 Muuttujien tarkastelu pistekuviossa 4.2 Riippuvuus 4.3 Korrelaatio 4.3.1 Pearsonin korrelaatiokerroin 4.3.2 Korrelaatiokerroin ja lineaarinen riippuvuus 4.3.3 Syy-seuraussuhteesta 4.3.4 Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin 4.4 Ristiintaulukoinnista 4.5 Regressio 4.5.1 Kahden muuttujan regressioanalyysi 4.6 Riippuvuuden mitan valinta riippuu mitta-asteikosta

4.3.1 Pearsonin korrelaatiokerroin

Korrelaation laskemiseksi lasketaan ensin muuttujien kovarianssi. Kovarianssi eli yhteisvaihtelu kuvaa riippuvuutta, joka nähdään muuttujien poikkeamissa keskiarvoista. X-muuttujalle poikkeamat ovat 

x₁ – x̅,  x₂ – x̅, ..., x_n – x̅

ja y-muuttujalle vastaavasti

y₁ – y̅,  y₂ – y̅, ..., y_n – y̅

Kovarianssi mittaa, esiintyvätkö itseisarvoltaan suuret saman merkkiset poikkeamat usein samoissa havainnoissa. Tämä osoittaa muuttujien riippuvuuden.

Kovarianssi lasketaan poikkeamien tulojen keskiarvona (tosin jakajana n–1)

Kahden positiivisen poikkeaman tulo on positiivinen, samoin kahden negatiivisen poikkeaman tulo.

Taulukossa näytetään kahden keksityn muuttujan poikkeamien tuloja. Ne ovat positiivisia useimmissa havainnoissa. Tämän vuoksi kovarianssi on suuri.

Taulukko. Kovarianssin laskenta

x:n ja y:n keskiarvot ovat kumpikin 6

x	y	x:n poikkeama, x–x:n keskiarvo	y:n poikkeama, y–y:n keskiarvo	poikkeamien tulo (x–x:n keskiarvo) × (y–y:n keskiarvo)
3	2	-3	-4	12
4	5	-2	-1	2
6	5	0	-1	0
11	12	5	6	30

Kovarianssi on

Korrelaatiokertoimessa kovarianssi suhteutetaan muuttujien sisäiseen vaihteluun, jota mitataan keskihajonnalla. Pearsonin korrelaatiokertoimen kaava on

Pearsonin korrelaatiokerroin mittaa kahden muuttujan korrelaatiota välillä –1:stä 1:een. Arvo –1 osoittaa pistekuvion pisteiden sijaitsevan laskevalla suoralla ja arvo 1 osoittaa pisteiden asettuvan nousevalle suoralle. Kun kaikki pisteet ovat suoralla, riippuvuus on täydellistä. Korrelaation merkki kuvaa, onko riippuvuus negatiivista vai positiivista.

Esimerkit